• Verknüpfung verschiedener Informationsquellen (Sensoren) für bessere Modellierung
• Verschiedene Zielsetzungen
  • Verbessertes Systemverständnis
  • Verringerte Unsicherheit der Modelle
  • Redundanz von Sensoren (Absicherung von Ausfällen)
  • Bestimmung nicht-gemessener Werte (indirekte Messung)
• Anwendungsbeispiele
  • Ortung
  • Zeitreihenanalyse

Ungefährer initialer Zustand des Zuges: \(\mathbf{x}_0=\left(\begin{array}{c} s_0 \\ v_0 \end{array}\right)\)

• Prognose von (mittlerem) Zustand und Kovarianz:
  • \(\mathbf{x}_i\) \(=\mathbf{F}~\) \(\mathbf{x}_{i-1}\)\(+ \mathbf{B} ~\mathbf{u}_i\)
  • \(\mathbf{P}_i\) \(=\mathbf{F}~\) \(\mathbf{P}_{i-1}\)\(~\mathbf{F}^T + \mathbf{Q}_i\)

• Prognose: \(\mathbf{x}_i =\)\(\mathbf{F}~\) \(\mathbf{x}_{i-1}\)\(,~~~~\) \(\mathbf{P}_i =\)\(\mathbf{F}\) \(\mathbf{P}_{i-1}\)\(\mathbf{F}^T\)
• Annahme: Messung (links) hängt von Zustand (rechts) ab, \(\mathbf{z}_i\) \(\approx\) \(f(\) \(\mathbf{x}_i~\) \()\)

• Mittelwert: \(\mathbf{z}'_i\) \(=\mathbf{H}_i\) \(\mathbf{x}_i\)
• Kovarianz: \(\mathbf{R}'_i\) \(=\mathbf{H}_i\) \(\mathbf{P}_i\)\(\mathbf{H}_i^T\)

• Multiplikation von zwei (Gaußschen) Dichtefunktionen
  • mit \(\mu_a\), \(~\Sigma_a\) und \(\mu_b\), \(~\Sigma_b\)
• Ergibt Gaußsche Dichtefunktion mit \(\mu_c = \mu_a+\Sigma_a (\Sigma_a+\Sigma_b)^{-1} (\mu_b-\mu_a)\)
• Und Kovarianz \(\Sigma_c = \Sigma_a - \Sigma_a (\Sigma_a+\Sigma_b)^{-1} \Sigma_a\)

• 2-schrittiges, iteratives Vorgehen
• 1: Prognose mit Systemverständnis (siehe Folie 12)
  • Eingaben: \(\mathbf{x}_{i-1}'\), \(\mathbf{P}'_{i-1}\),\(\mathbf{F}\), \(\mathbf{B}\), \(\mathbf{u}_i\), \(\mathbf{Q}\),
  • Ausgaben: \(\mathbf{x}_{i}\), \(\mathbf{P}_{i}\)
• 2: Update mit Messwerten (siehe Folie 19)
  • Eingaben: \(\mathbf{x}_{i}\), \(\mathbf{P}_{i}\), \(\mathbf{H}_i\), \(\mathbf{R}\), \(\mathbf{z}_i\),
  • Ausgaben: \(\mathbf{x}_{i}'\), \(\mathbf{P}_{i}'\)

• Initialwerte \(\mathbf{x}_{i=0}\), \(\mathbf{P}_{i=0}\)
  • Begründete Vermutung, erste Messwerte ( \(\mathbf{x}_{i=0}\))
• \(\mathbf{H}_i\), \(\mathbf{F}\), \(\mathbf{B}\), \(\mathbf{u}_i\)
  • Wissen oder Annahmen über modelliertes System
• \(\mathbf{R}\), \(\mathbf{Q}\)
  • z.B. aus Datenblättern der Sensoren, Schätzung aus historischen Daten
• Oder: Maximum Likelihood Estimation

• Wichtige Überlegung für jedes statistische Modell
• Annahmen bzw. ihre Erfüllung
  • Markov
  • Linearität
  • Normalverteilt

• Nicht-Markov \(\rightarrow\)
  • z.B. frühere Zeitschritte in Zustandsvektor \(\mathbf{x}\) aufnehmen
• Nicht-Normalverteilt \(\rightarrow\)
  • andere Gleichungen, Transformationen, vllt. keine analytische Lösung
• Nicht-Linear \(\rightarrow\)
  • Linearisierung (z. B. Extended Kalman Filter)

set.seed(123)
a <- 1.1 #Beschleunigung
x <- cbind(0,0) #tatsächliche Startwerte
R <- matrix(c(200,-100,-100,100),2,2) #Sensorgenauigkeit (Kovarianz)
z <- x + MASS::mvrnorm(1,c(0,0),R) #erste Sensormessung
deltat <- 1 # Zeitschritt
Q  <- matrix(c(2,1,1,2),2,2) #Zufällige externe Einflüsse auf Status (Kovarianz)
## Schrittweise simulieren:
for(i in 2:50){
  xi <- c(x[i-1,1]+x[i-1,2]*deltat+deltat^2 * a/2, x[i-1,2]+a*deltat)
  xi <- xi + MASS::mvrnorm(1,c(0,0),Q) 
  x <- rbind(x,xi)
  zi <- xi + MASS::mvrnorm(1,c(0,0),R)
  z <- rbind(z,x[i,]+ MASS::mvrnorm(1,c(0,0),R))
}
plot(x,type="l",xlab="s",ylab="v") # Plot des tatsächlichen Status
points(z,col="darkgreen",pch=20) # Plot der Messwerte

#install.packages("FKF")
require(FKF)
mod <- fkf(
  a0=c(30,30), #Initialwert x_i=0 (absichtlich stark abweichend)
  P0=diag(2), #Initiale Kovarianz P_i=0
  dt=matrix(a*c(0.5,1),2), #offset, externer Einfluss B*u
  ct=matrix(c(0,0),2), #offset Sensoren (null)
  Tt=matrix(c(1,0,1,1),2), # Zustandstransformationsmatrix F
  Zt=diag(2),#Zustand-Sensoren Transformationsmatrix H
  HHt = Q%*%t(Q), #sqr Kovarianzmatrix Q, extern
  GGt = R%*%t(R), #sqr Kovarianzmatrix R, Sensoren
  yt=t(z)) #Sensormesswerte
plot(x,type="l",xlab="s",ylab="v")
points(z,col="darkgreen",pch=20)
lines(mod$att[1,],mod$att[2,],col="blue") #Filter Schätzung

mod <- fkf(
  a0=c(30,30), 
  P0=diag(2),
  dt=matrix(a*c(0.5,1),2), 
  ct=matrix(c(0),1), #!
  Tt=matrix(c(1,0,1,1),2), 
  Zt=matrix(c(1,0),1), #!
  HHt = Q%*%t(Q),
  GGt = R[1,1,drop=F]^2, #!
  yt=t(z)[1,,drop=F]) #!
plot(x,type="l",xlab="s",ylab="v")
points(z,col="darkgreen",pch=20)
lines(mod$att[1,],mod$att[2,],col="blue")

mod <- fkf(
  a0=c(30,30), 
  P0=diag(2),
  dt=matrix(a*c(0.5,1),2),
  ct=matrix(c(0),1), 
  Tt=matrix(c(1,0,1,1),2), 
  Zt=matrix(c(0,1),1), 
  HHt = Q%*%t(Q),
  GGt = R[2,2,drop=F]^2, #!
  yt=t(z)[2,,drop=F]) #!
plot(x,type="l",xlab="s",ylab="v")
points(z,col="darkgreen",pch=20)
lines(mod$att[1,],mod$att[2,],col="blue")

• R Faragher, Understanding the Basis of the Kalman Filter Via a Simple and Intuitive Derivation, IEEE Sig. Proc. Mag., 29:5, 201

• T Babb, How a Kalman Filter works, in pictures, Bzarg.com, 2015 https://www.bzarg.com/p/how-a-kalman-filter-works-in-pictures/